模式：本页「
运动模拟」承载全部运动学能力；「三维模型」为纯静态模型视图（关节锁定在设计零位、无目标点与求解控件），「装配图」为二维图纸。运动模拟下左栏只保留 IK 结果与关节角度，零件树/打印清单自动收走。
目标：使 TCP（末端工具法兰 P09 安装面中心，可加“工具长”）到达给定点，并在一切满足限位的可行构型中取
各电机需转过的角度之和最小者（相对当前姿态的行程；连续轴 θ 与 θ±360 是同一物理位形，角差一律取 ±180° 内的短弧，见第 6 条；离线批算不给参考姿态时退化为 Σ|θᵢ| 最小）。开启上方“
姿态控制”后，
约束升级为
位置 3 + 姿态 3（工具轴指向 + 绕轴滚转），见第 5 条。
姿态操控：姿态开启后目标球处出现方向箭头与粉色侧球——
箭头指向即工具朝外方向（法兰面法向朝外，也就是工具伸出的方向）。
拖箭头头部用弧球法（指针射线与以目标为球心、半径＝箭长的球求交，方向＝交点−球心）连续调整方位/俯仰；
拖箭杆或粉色侧球按指针绕轴的转角增量改滚转；右侧数字框随时同步，可精确微调，
「取当前」把真实工具姿态读回、「垂直向下」一键设为爪取常用姿态。
约定：求解器内部工具坐标系 z 轴取法兰面法向（朝臂内，与 TCP 外伸反向）；界面上的方位/仰角/滚转、
箭头与绿色当前轴线均以朝外法向描述，入栈时绕工具 x 轴翻 180° 换算，两者看到的物理姿态完全一致。
- 先消去一维（仅位置任务）：TCP 恰好落在 J6 轴线上，绕 J6 转动不改变 TCP 位置 ⇒ 对“到点”任务取
θ6 = 0 即已最优。
- 识别结构：J2 / J4 / J5 三轴严格平行（轴向 Y，过 x = 19.5），J1 轴为 X，J3 轴沿臂长方向 Z。
记
A = X−X0、R = |(Y−Y0, Z−Z1)|、φ = atan2(Z−Z1, Y−Y0)，
则 X = X0 + a，而 (Y, Z) 由 (b, c) 绕 J1 轴旋转 φ 得到：
a = Vx·cosθ3·cosθ2 + Vz·sinθ2，b = −Vx·sinθ3，
c = C0 + (−Vx·cosθ3·sinθ2 + Vz·cosθ2)，
其中 Vx, Vz 只是 (θ4, θ5) 的函数。
- 两式联立消元（关键一步）：由
a = A 得恒等式
A² + n² = Vx² + Vz²（n = −Vx·cosθ3·sinθ2 + Vz·cosθ2）；
代入 b² + c² = R² 后 θ3 的项全部抵消，于是
n = (R² + A² − Vx² − Vz² − C0²) / (2·C0) —— 唯一确定；
再由 n² + A² = Vx²·cos²θ3 + Vz² 得
cos²θ3 = (n² + A² − Vz²) / Vx² ⇒ θ3 共四支 ±σ, ±(π−σ)；
最后 θ2 与 θ1 各由一个 2×2 线性方程组唯一确定：
cosθ2 = (κA + Vz·n)/(κ² + Vz²)，sinθ2 = (Vz·A − κ·n)/(κ² + Vz²)，
κ = Vx·cosθ3；θ1 = φ − atan2(c, b)。
- 遍历冗余（按行裁剪到可行段）：(θ4, θ5) 就是二维冗余。闭式支只在平面支有解时才存在，
限位盒内只有 7~27% 的网格点能过判据，且实测（5 个目标 × 全部 θ4 行）每行的可行集都是单一连续段
—— 于是先用探测步找出每行的可行段、向两端各放宽一个探测步兜住段界，段内再按步长精扫。
段内密度与全域扫一致，因此解的质量不动，粗扫采样量降约 4.6×（但全量总耗时只降约 1.10×——局部加密窗口是 ±2h 步长 h/8，格数恒为 32×32/种子、与 h 无关，精修才是耗时地板）。
之所以不把粗扫一起放松：根枚举目前不保证完备，漏根时要靠粗扫的窄带候选兜底，
实测把粗扫同步放松会换来上百度级的代价劣化。
- 姿态任务（6 自由度）：工具坐标系姿态
R = R₁·R₂·…·R₆（与场景图 6 级矩阵链一致）。
结构上 J5 轴与 J6 轴在腕心 (19.5, 128, 222) 垂直相交，因此 θ6 只提供绕工具自身轴的滚转：
工具轴指向 = (R₁…R₅)·ẑ，与 θ6 无关，TCP 位置也与 θ6 无关。每条位置闭式支都附带确定的 R₅
（= R₁…R₅），滚转角随之闭式解出：N = R₅ᵀ·R_des（需为 Rz(−θ6)）⇒
θ6 = −atan2(N₁₀, N₀₀)；姿态偏差 e = ∠(R₅·Rz(−θ6), R_des) ≤ 2° 的支才收入。
- 姿态 = 孤立根求解：闭式支把 θ1..θ3 吸收掉之后，姿态任务只剩「工具轴指向 = 目标轴」
这 2 个方程、2 个未知数 (θ4,θ5)，解是孤立点（独立密集种子 + 牛顿普查实测只有 1~2 个根），
滚转再由 θ6 闭式补上。所以不再用网格密度去撞那条斜窄谷：逐行对残差两个分量找变号括号、
从括号中点起跑阻尼高斯-牛顿（奇异时加大阻尼而非退出），并对每支的 ‖e‖ 最小节点补种以收
切向相切的根；代价最优的若干条入选候选再各收口一次。于是
姿态残差量级从 ~10⁻²° 变为 10⁻⁶°（工程意义上的精确），且 Σ|θ| 不劣于原路径。
- 两处判据陷阱（都验过，写在这里防止被自证）：其一，切向残差在工具轴反平时同样为零，
同向判据只能在收口时验，当作迭代中止条件会让每支一进来就作废；其二，求根按支下标对齐
prev/cur，不可行的支必须留 null 占位，否则下标错开、括号判据失配，实测会整支漏掉一个真根、
多付 130° 关节角。确有少数奇异「刀尖」构型无精确根，此时牛顿收敛到 ‖e‖ 的真实最小，
报出的残差不再是采样伪影。
- 混合优先（比重可调折中）：优先级下拉的第三种模式——一根滑杆自由分配两端：
0% 即姿态优先、100% 即位置优先（两端直接交给上面两条专用算法，结果逐位一致），
中间值在两端锚点之间最小化归一化折中代价
J = w·(e/e_ref)² + (1−w)·(o/o_ref)²。两端尺度取锚点自身：
e_ref = 姿态优先解的 TCP 位置差、o_ref = 位置优先解的姿态残差，
于是滑杆读数就是「沿折中历程的进度」、与目标的绝对误差量级无关（50% ≈ 两端各自归一后对半）。
之所以不用「1 mm ↔ 1°」的绝对量纲：实测两端误差常在 100 mm / 40° 量级，绝对量纲会把读数整体挤向
位置端（折线中点落到 ~13% 处），滑杆就不好用了。两端锚点复用上面两条算法——位置端 = 位置精确族 +
闭式滚转 + 孤立根收口（位置不可达时退化为最近可达位置），姿态端 = 工具轴闭式对齐 + θ6 补滚转
（姿态精确、位置最近）；中间值以两锚点及关节空间插值为种子，对 6 维残差
[√w·(p−t)/e_ref , √(1−w)·RV°/o_ref] 做阻尼高斯-牛顿 + 单轴抛光，取 J 最小者
（J 同量级 2% 带内取行程 — 相对当前姿态的 Σ|wrap(θᵢ−refᵢ)| — 更小者，防等价支横跳）。两端中任一端在另一维也达标
（≤0.05）时折中无意义、直接返回该端——注意位置端不达标而姿态端在位置上达标时返回姿态端
（它两维同时占优：位置优先族收不到的到达解，姿态端收得到）。全程无随机数，同一输入逐位可复现；
拖动走快路（同「实时续解」条哲学，归一化尺度沿用最近一次全量的缓存），松手必走全量。
- 连续优先（最小移动角 / 防倒摆）：等价多分支（θ3 的 ±σ/±(π−σ)、肘上/肘下、J1/J3 镜像族）之间只按 Σ|θ| 选优时，
目标微动就会在分支间跳来跳去、绕远路（实测目标挪 20 mm 就翻族：垂直向下时左右移动单步最大 74.8°、
累计绕出 348°，而目标实际只扫过 160°）。交互求解以当前手臂姿态为参考位姿，选解判据取
所有电机需要转过的角度之和最小——
Σ|wrap180(θᵢ−refᵢ)|：连续轴（J1/J3/J6）无机械限位，
θ 与 θ±360 是同一物理位形，故角差一律取短弧；末尾 1e-6·Σ|θ| 只作并列时的次序稳定项。
同一条扫描路径实测：单步最大 5.0°、累计 160.0°，与目标实际扫过的角度一致。
拖动动画同样对连续轴取「离起始角最近的等价角」再插值，避免 +151.9°→−167.0° 反向扫 318.9° 绕一整圈。
- 实时续解（拖动快路）：目标每帧只挪几毫米时，真解在 (θ4,θ5) 平面上连续移动，
没必要为重扫整个冗余维付全价。
solveWarm 只在上一帧解附近取同一闭式支、走一小步同支搜索，
姿态任务再收口一次；任一校验不过（换支、越限、位置残差超差、姿态没收口、关节跳太大）就返回 null
自动回落全量粗扫，松手后的求解一定不带 warm、走全量。快路只负责「能快的时候快」，不改变正确性判据。
- 代表角：位姿以 360° 为周期，解角一律取 ±180° 内的等价角（|θ| 最小）；J2 / J4 / J5 另受相邻件实测机械区间约束，越限即丢弃。
- 自检：每次求解都用闭式 FK 与场景图真实 6 级矩阵链各算一次 TCP 和工具姿态并与目标比对（见上表残差）。
验证数据（本机实测，可复现）
| 检查项 | 结果 |
|---|
| 闭式 FK vs 6 级矩阵链（1500 组随机位形） | 4.6 × 10⁻¹³ mm |
| 逆解分支重构（200 组随机可行位形） | 200 / 200 命中 |
| θ6 不变性（0° → 137°，TCP 位移） | 0.00 mm |
| 姿态参数 ↔ 旋转矩阵往返（2000 组随机） | 2.4 × 10⁻⁶° |
| 姿态重构达标率（200 组随机可行位形，step 0.5，A/B 同机） | 中位残差 0.0234° → 0.000000°；>0.05° 的例数 2 → 0（改造前文档口径 185–191/200） |
| 姿态解 Σ|θ| vs 改造前（60 组，step 0.25 + 连续项） | 中位 +0.03°，最大 +8.4°（该例是新解更贴参考位姿、Σ|θ| 反而更大，属连续项的正常取舍而非漏解） |
| 位置解 vs 0.05° 参考网格（100 目标，step 0.25） | 中位 +0.000°，最大 +0.49°，>1° 例数 0 |
| 全量求解耗时（60 组，step 0.25 + 连续项） | 仅位置 70.6 → 63.3 ms；位置+姿态 88.8 → 81.0 ms（约 1.10×；粗扫采样量降 4.6×，但精修才是地板） |
| 实时续解快路（每帧 3 mm + 1.5°，240 帧） | 位置命中 96%、均 0.058 ms；姿态命中 65%、均 0.59 ms —— 对全量 81 ms 约 140~1400×，是交互延迟的主要收益来源 |
| 快路结果的独立复核（fkChain / 全 6 轴 orient，非求解器自报） | 位置 5.5×10⁻¹³ mm · 姿态 1.7×10⁻⁶° |
| 姿态模式候选表长度（供互异构型/碰撞改选取样） | 26 → 13（精确根集合本就只有 1~2 个，达标门收紧后可选样变少；动态碰撞改选若依赖宽候选需留意） |
| 滚转角交互 roll 0→90（参考位姿连续） | Δθ6 = 89.99°，θ1..θ5 变化 < 0.01° |
| 60 个可达目标：失败次数 / 最大残差 | 0 次 / 3.5 × 10⁻¹³ mm |
| 相对 0.05° 极细网格参考的最大劣化 | 0.02° |
| vs 4000 次随机多起点数值解 | 0 / 20 次劣于数值解 |
| 等价分支跳变 · 4 条扫描路径（修复前 → 后） | >10° 跳变 14 → 5 次；最大单步 163.5° → 16.8° |
| 单次求解耗时 | 拖动跟随走快路 ~0.1 ms；全量求解默认步长下位置 ~20 ms、姿态 ~100 ms（node 侧本机实测，浏览器同量级） |
限位：电机行程各轴 ±360°（＝滑块范围）；解角取 ±180° 内的等价角——位姿以 360° 为周期，超出 ±180° 不产生新位姿。
相邻打印件的实测机械区间封顶：J2 ∈ [−107, 128]，J4 ∈ [−112, 112]，J5 ∈ [−96, 96]，J1 / J3 / J6 可整周。
参考：零位静态扫描 J2 [−106, 9]、J4 [−111, 16]、J5 [−95, 34] 只在其它轴全零时对固定立柱成立，已不再当可行域；
跨组零件对（腕/法兰撞立柱那类）由胶囊碰撞模型按当前姿态实时判定（实测 J1=90° 时 J2 正端从 +8° 放到 +107°）。
局限：胶囊模型故意不检相邻组零件对（|Δg|=1），那部分由上面的实测机械区间兜底；换模型须重跑
scratch/probe_adj.py 更新 collide.json 的 adj。若需要更舒展的姿态，可从上方“互异构型”列表改选次优解。
不可达：若目标超出工作空间，自动求最近可达位姿——阻尼最小二乘
从当前姿态锚定起步（抑制退化方向的无用漂移）、固定种子的确定性重启（同一点重复解算逐位一致）、再经零空间抛光取最小总关节角的代表值；报告的距离为抛光后真实值。
姿态不可达：姿态任务超可达空间时，阻尼最小二乘误差向量升级为 6 维（位置 mm + 姿态 deg，按 20 mm/rad 折算），返回位置与姿态联合最近的位姿，两个残差分别显示。
混合优先不可达：位置超可达空间时，位置端锚点退化为「最近可达位置」、姿态端仍取「姿态精确、位置最近」，
再按同一权重折中，两端各自的残差在结果栏如实列出（与位置优先的历史兜底——6 维联合 DLS——是两个不同的代表值，切换模式可得）。
API：控制台可用
IK.solver.solve([x,y,z],{step:0.25,tool:0,pose:{R:ArmIK.poseMat(az,el,roll)}})；
IK.setPose(az,el,roll) 可直接设定目标姿态；
IK.setPrio('mix',0.3) 切到混合优先并设比重；
IK.solver.solveTo([x,y,z],{pose:{R:…},priority:'mix',mixW:0.3}) 直接取折中解（0 与 1 分别等于姿态优先 / 位置优先）。